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本文常用量级绝对无穷部分构造补充（第3页）

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;bxe；若Lkk的字母表仅含有k个非逻辑符号，并且Lkk的子集（语句集）t存在模型（一致）当且仅当t的每个基数＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k的子集∑都存在模型（一致），则称k是弱紧致基数。

对于不可数的弱紧致基数k可以证明：

k是正则基数

假设k是奇异基数，取k的无界子集x有|x|amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k，在字母表中添加常元符号（ca:a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It;k}u{c}

定义语句集t={c≠ca:a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k}u{VaexVa

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;ac=ca}

其中V入exVa

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t；入c=ca是由x|个形如Va

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It；入c=ca的语句或取而成的，由于|x|amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k，这是一个合法语句但却遍历了每个ca，或取命题的成立只需要其中一项为真即可，对于t基数＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k的含该语句的子集∑，其中都只会含有个c≠ca，由x在k中无界，必然存在国＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，Va

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;yc=ca就可为真与其余语句一致，但必与t的其余语句矛盾。

2.k是极限基数

假设k是后继基数，则存在入＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k，使得2入≥k。

在字母表中添加常元符号｛ca:a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t；入｝u{dao:aamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;t;?}u{da1:aamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;）}

并定义语句集

t={^d

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It；入[（ca=daoVca=dao）adao≠da1]}u{pf:fe21}

其中∧a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;x[（ca=daoVca=dao）adao≠da1］可以直观理解为定义了一个2入中的o1序列f*，中f则是使用f定义的形如Va

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It;ca*daf（a）的语句，其为真就意味着必有一项ca不同于f在a处的得值，即f*≠f。显然，t是不一致的。但对于t的基数＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k的子集∑，由于区＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It;ItI，从而总能存在ge2入但中g≠∑，令f*=g即可满足

3.k是巨大马洛基数

已知k是不可达基数，故|Vk1=k，对任一ucVk，扩充语言Lkku，其中含有谓词符号u（x）被解释为u，再在其字母表中添加常元符号c，定义语句集t={peLkku:（Vk，e，u）=ф}u{фa（x）ax

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;c:o

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k}，其中中a（x）是对序数a的定义，即对任意a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k均有（Vk，e）=ゆa（a）。由于t基数＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k的子集∑都以（Vk，e，u）为模型，故t也存在模型（m，e，u*）。由于（Vk，e）=-3n

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;xn（xn+1exn），e是m上的良基关系，由坍塌定理可得（m，e，u*）又由于Vk的每个元素均可定义，{oeLkku:（Vk，e，u）=o｝作为一个完备理论被（m，e，u*）满足，就存在（Vk，e，u）到（m，e，u*）的初等嵌入使得（Vk，e，u）是（m，e，u*）的初等子模型。

设u为无界闭集，由于unetk）=k可得keu*，而（m，e，u*）=u（k）蕴含（m，e，u*）=3xф（x）лu（x）（Vk，e，u）=3xф（x）лu（x），其中中（x）为一可由某一（m，e，u*）见证的k所具有的性质。

4.k是门11﹣不可描述基数

由3．可知对任﹣ucVk，均存在初等嵌入使得（Vk，e，u）是（m，e，u*）的初等子模型，扩充语言Lkku中的语句等价于以u为参数的语句，而Vk上的n11语句等价于Vk+1上的n1o语句，形如VxeVk+1p（x）Vk，其中p（x）Vk是量词辖域为Vk的一阶语句，其成立取决于Vk和u中是否存在这样或那样的元素，由于Vkcm，Vk=Vkm，，p（x）Vk（m，e，u*）=o（x）Vk。又由于Vk+

1mcVk+1，假设VxeVk+1p（x）Vk但（m，e，u*）=-VxeVk+1p（x）Vk即（m，e，u*）=3xeVk+1-p（x）Vk就与假设矛盾。故对于Vk上的n11语句中中m，并且若（Vk，e，u）＝中则（m，e，u*）满足存在a，（Va，e，Vanu*）=中，（Vk，e，u）就也满足存在a，（Va，e，Vanu*）=ф.

5．可测基数

问题：一个不可数基数k是可测基数（measurab1eneta1）当且仅当k上存在k﹣完全的非主滤。证明任何可测基数都是不可达基数（inaneta1），即，都是正则且强极限的。

先证明正则性。若k是奇异的，即cf（k）amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k。则可以取一个k的递增的共尾序列（ay

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1y

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;cf（k）），使

supy

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;cf（k）ay=uy

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;cf（k）ay=k

取k上的一个k﹣完全的非主滤u，则u是均匀滤，从而每个ayeu，即k-ayeu，于是：

udny

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;cf（k）（k-ay）=k-uy